Probleme actuale ale algebrei şi ecuaţiilor diferenţiale: aspecte teoretice şi aplicative

Director de proiect, gradul ştiinţific Codul (cifrul) proiectuluiInstituţia executoareTipul proiectuluiDirecţia strategicăCaracterul cercetărilorTermenul de realizareRezultatele preconizateAlocaţii bugetareCofinanţare
dr.hab Popa Mihail Nicolai
11.817.08.01F
Institutul de Matematică şi Informatică al AŞM
Proiecte de cercetare ştiinţifică fundamentală şi cercetare ştiinţifică aplicativă (instituţionale)
Materiale, tehnologii şi produse inovativeFundamental2011-01-01 - 2014-12-31
2011
Vor fi elaborate metode de construire a cuasigrupurilor cu cinci (şase) parastrofi ortogonali şi vor fi parţial descrise spectrele lor. Vor fi descrise transformările admisibile ale transversalelor în bucle, care corespund parastrofiei, izostrofiei şi paratopiei. Va fi efectuată criptoanaliza unor cifruri secvenţiale bazate pe cuasigrupuri. Va fi specificată influenţa proprietăţilor laticei topologiilor pe o mulţime finită asupra numărului extensiilor unipunctuale. Va fi arătat cum unele module local compacte sunt determinate şi pot fi construite prin inelul de endomorfisme continue. Vor fi obţinute deformaţiile continui ale poliedrului fundamental pentru varietatea hiperbolică de tip bitetraedral. Va fi stabilită expresibilitatea formulelor în logici modale. Vor fi complet descrise singularităţile finite fine ale familiei de sisteme pătratice: criteriile de existenţă, numărul, tipurile (focar, centru, şea) şi gradele de fineţe. Va fi obţinută clasificarea orbitelor în raport cu grupul centroafin pentru sistemul pătratic complet. Vor fi construite formele canonice ale sistemelor cubice cu drepte invariante reale şi complexe. Va fi construită baza minimală polinomială (până la gradul 14 inclusiv) a comitanţilor şi invarianţilor centroafini pentru sistemul omogen bidimensional de ecuaţii diferenţiale de gradul patru. Vor fi construite integralele sistemelor pătratice omogene tridimensionale de ordinul întâi, automorfismele (endomorfismele) unor tipuri de cuasigrupuri şi operaţii binare şi n-are, vor fi arătate descompuneri în produse directe ale unor cuasigrupuri. Vor fi definite şi analizate diferite tipuri de operaţii de adunare a vectorilor pe suprafaţa sferei, elipsoidului şi cilindrului. Va fi determinat numărul de extensiuni unipunctuale ale unei topologii date pe o mulţime finită, care este un lanţ. Vor fi aplicate rezultatele despre laticele de (pre)radicali în module la descrierea unor clase de module şi inele. Vor fi obţinute unele clase de descompuneri diedrale ale sferei. Vor fi arătate criterii de expresibilitate parametrică a formulelor unare în logica S5. Vor fi determinate configuraţiile posibile de singularităţi pentru câmpurile vectoriale pătratice. Vor fi construite funcţiile generatoare şi seriile Hilbert pentru unele mulţimi de obiecte algebrice, determinate de ecuaţii diferenţiale polinomiale. Va fi determinată diagrama bifurcaţională şi vor fi schiţate portretele fazice pe discul Poincare pentru sistemele cubice cu drepte invariante. Vor fi evidenţiate proprietăţile sistemelor pătratice tridimensionale de ecuaţii diferenţiale, ce corespund sistemelor bidimensionale de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi cu cicluri limită. Va fi generalizată teorema clasică Lindelof-Ghering-Lohwater în cazul multidimensional.
2012
Vor fi cercetaţi unii preradicali de tip special în categoria R-modulelor cu aplicarea lor la studierea laticei submodulelor unui modul. Vor fi introduse unele operaţii noi în laticea submodulelor, ce sunt inverse celor cercetate anterior: proprietăţi, cazuri particulare, aplicaţii. Vor fi construite unele coduri MDR-recursive cu ajutorul cuasigrupurilor şi S-sistemelor de cuasigrupuri binare şi obţinute informaţii suplimentare despre parametrii acestor coduri. Vor fi elaborate metodele de obţinere a transversalelor de buclă în buclă pe subbucla ei (în cazul general). Ca aplicaţie va fi considerat cazul particular al unei bucle de permutări exact 2-tranzitivă.  Vor fi stabilite condiţiile necesare şi suficiente de completitudine (funcţională) a sistemelor de formule în extensia cu 16 elemente a logicii modale S4. Vor fi dezvoltate metodele metrice de construire a poliedrelor în spaţii hiperbolice. Pentru familiile de sisteme pătratice Hamiltoniene şi sistemele cu centru vor fi depistate toate configuraţiile de singularităţi finite şi infinite şi va fi studiată influenţa acestor configuraţii la determinarea completă a portretelor fazice. Va fi propusă seria Hilbert generalizată a algebrei comitanţilor unimodulari ai sistemului diferenţial cu neliniarităţi de gradul cinci şi obţinută dimensiunea lui Krull a acestei algebre, ce va fi utilizată la rezolvarea problemei centrului şi focarului pentru acest sistem. Vor fi stabilite proprietăţile de bază ale sistemelor cubice de ecuaţii diferenţiale cu infinitul degenerat şi cu drepte invariante. Aplicând teoria geometrică a ecuaţiilor diferenţiale de ordinul doi, vor fi investigate proprietăţile calitative ale unor familii de sisteme de ecuaţii diferenţiale polinomiale de ordinul întâi. Va fi investigată proprietatea clasei de funcţii (aplicaţii) normale meromorfe de a fi închisă în raport cu operaţii algebrice. Pentru sistemul bidimensional de ecuaţii diferenţiale cu neliniarităţi de gradul patru va fi construită o baza polinomială minimală a GL(2, R)-comitanţilor până la gradul 18 inclusiv. Vor fi construiţi factorii integranţi Lie pentru unele clase de sisteme diferenţiale cubice bidimensionale s(1,2,3).
2013
Va fi efectuată caracterizarea unor tipuri speciale de operatori de închidere în R-Mod prin funcţiile ce separă submodulele dense şi cele închise. Studierea proprietăţilor lanţurilor necondensabile în laticea topologiilor grupale la trecerea la infi mum, stabilirea numărului de topologii metrizabile în grupuri numărabile. Va fi efectuată descrierea unor tipuri de grupuri abeliene local compacte ale căror inele de endomorfi sme continue, echipate cu topologia compactdeschisă sunt inele Zorn în sens restrâns. Va fi efectuată descrierea grupurilor de identităţi corespunzătoare identităţilor echilibrate cunoscute cu patru variabile la transformarea parastrofi că. Stabilirea legăturii cuasigrupurilor r-diferenţiabile cu MDS-codurile. Vor fi obţinute condiţii de ortogonalitate parastrofi că a cuasigrupurilor lineare şi alineare şi aplicarea lor la cifrarea informaţiei. Vor fi aplicate metode de obţinere a transversalelor de buclă în buclă pe subbucla ei în cazul particular al unei bucle de permutări exact 2-tranzitivă. Descompunerile 3-izoedrice, obţinute pentru serii infi nite de grupuri de izometrii ale sferei, vor fi repartizate în clase Delone. Vor fi descrise poliedre echidistante peste hărţi regulate pe suprafeţe şi varietăţi hiperbolice ce permit realizarea hărţii ca subvarietate de codimensiune unu. Interpretarea operaţiilor de bază ale logicii demonstraţionale Gödel-Löb pe algebrele lanţiale, inclusiv pe algebra Dummett. Codifi carea cuvintelor prin formule unare ale logicii demonstraţionale. Pentru familia de sisteme pătratice cu o singularitate de tip şea fi nă vor fi determinate confi guraţiile de singularităţi fi nite şi infi nite posibile pe discul Poincare. Va fi construită seria Hilbert a algebrei graduate de comitanţi unimodulari cu coefi cienţi egali cu pseudo-mărimile focale generalizate ale sistemului cu neliniarităţi de gradul cinci. Vor fi clasifi cate sistemele cubice de ecuaţii diferenţiale cu şapte drepte invariante. Pentru sistemul cubic va fi determinată multiplicitatea geometrică maximală a unei drepte invariante. Va fi efectuată cercetarea calitativă a sistemelor cubice de ecuaţii diferenţiale cu şapte drepte invariante. Pentru sistemul cubic va fi determinată multiplicitatea geometrică maximală a dreptei de la infi nit. Va fi cercetat principiul Lindelof pentru funcţii olomorfe de mai multe variabile complexe. Vor fi cercetate proprietăţile ecuaţiilor diferenţiale de ordinul doi asociate cu sisteme de ecuaţii diferenţiale polinomiale de ordinul întâi. Construirea primelor opt constante Liapunov ale sistemului bidimensional de ecuaţii diferenţiale cu neliniarităţi de gradul patru, exprimate prin coefi cienţii sistemului. Construirea factorului integrant invers invariant pentru unele clase de sisteme pătratice şi cubice de ecuaţii diferenţiale cu punct singular de tip centru în originea de coordonate. Va fi obţinută algebra Lie admisă de sistemul cubic diferenţial, când omogenităţile de gradul doi au forma Darboux şi construiţi factorii integranţi Lie pentru unele din aceste sisteme.
2014
Identificarea proprietăţilor de bază ale clasei operatorilor de închidere a unei categorii de module R-Mod, determinarea tipurilor de operatori de închidere ai acestei categoriei, care se păstrează în raport cu aceste operaţii. Obţinerea numărului coatomilor în laticea tuturor topologiilor grupale pe un grup numărabil. Descrierea structurii diferitelor tipuri de grupuri abeliene local compacte cu proprietăţi speciale asupra inelelor de endomorfisme continui ale lor. Studierea şirurilor de cuasigrupuri binare ortogonale: existenţă, exemple, metode de construcţie şi diverse transformări. Construirea codurilor şi cifrurilor utilizând sistemele de cuasigrupuri ortogonale. Analiza şi descrierea structurilor de aplicaţii ce conservă o relaţie de echivalenţă dată. Descrierea tuturor transversalelor speciale grupale într-un grup infinit de permutări, exact 2-tranzitiv. Determinarea bazei finite a teoriilor cuasiecuaţionale şi ecuaţionale ale cuasivarietăţilor şi varietăţilor local finite de rang finit de sisteme algebrice. Descrierea unor clase pre-complete în logica algebrei topologice booleene cu 16 elemente cu un atom deschis. Obţinerea ecuaţiilor pentru completarea varietăţilor neorientate octaedrice. Construirea varietăţilor hiperbolice din poliedre generalizate echidistante. Tabularea descompunerilor 3-izoedrice pentru anumite serii de grupuri de izometrii ale sferei. Folosind metode algebrico-geometrice invariante vor fi studiate singularităţile ecuațiilor diferențiale și funcțiile complexe de multe variabile. Pentru sistemele diferențiale polinomiale vor fi obținute pe discul Poincare configurațiile singularităților curbelor algebrice invariante și stabilită o estimație de sus a numărului de elemente a bazei idealului Bautin. Vor fi determinate proprietățile ecuațiilor Monge.
2011
1476.2
2012
1537.8
2013
1531.1
2014
1831.4
2011
0.0
2012
0.0
2013
0.0
2014
0.0