2012

Vor fi determinate singularităţile cîmpurilor vectoriale polinomiale, precum şi configuraţiile de singularităţi finite posibile pe discul Poincare pentru câmpurile vectoriale pătratice. Vor fi obţinute formele canonice ale unor sisteme diferenţiale polinomiale pe varietăţi invariante nesingulare. Va fi construită funcţia generatoare pentru spaţiul graduat al comitanţilor unimodulari cu coeficienţi egali cu pseudo-mărimile focale ale sistemului diferenţial cu nelinearităţi de ordinul patru. Va fi construită clasificarea afină a sistemelor cubice cu şase drepte invariante reale şi integrale prime ale sistemelor pătratice de ecuaţii diferenţiale care descriu fluxuri Ricci patrudimensionale. Se vor construi expresiile primelor opt constante Liapunov ale sistemului pătratic de ecuaţii diferenţiale cu infinitul degenerat perturbat cu neliniarităţi cubice şi cercetate proprietăţile funcţiilor olomorfe meromorfe şi ale aplicaţiilor olomorfe ale varietăţilor spaţiilor Banach complexe finite. Vor fi determinate configuraţiile de singularităţi infinite posibile pe discul Poincare pentru câmpurile vectoriale pătratice şi determinat inversul polinomial al factorului integrant Lie pe varietăţi nesingulare pentru unele sisteme diferenţiale polinomiale. Vor fi construite pe cercul Poincaré portretele fazice ale comportărilor traiectoriilor sistemelor cubice de ecuaţii diferenţiale cu drepte invariante reale de cel puţin patru direcţii.

2013

Utilizând o nouă relaţie de echivalenţă, mai fi nă decât cea topologică, pentru familia de sisteme pătratice vor fi determinate toate confi guraţiile globale geometric distincte de singularităţi infi nite. Va fi construit sistemul de ecuaţii algebrice ce refl ectă factorul integrant Lie pentru sistemul diferenţial cubic în care partea cubică are forma Darboux. Vor fi construiţi primii o sută de termeni ai seriei Hilbert a algebrei graduate de comitanţi unimodulari ce au ca coefi cienţi pseudomărimile focale ale sistemului diferenţial cu neliniarităţi de gradul patru Pentru sistemul cubic vor fi stabilite multiplicităţile maximale ale unei drepte invariante plane şi a dreptei de pe ecuatorul sferei Poincaré. Vor fi construite exemple de soluţii ale sistemelor de ecuaţii pentru fl uxuri Ricci pe varietăţi 6-dimensionale. Pentru sistemul pătratic de ecuaţii diferenţiale cu infi nitul degenerat perturbat cu neliniarităţi cubice vor fi construite forme reduse ale constantelor Liapunov, exprimate prin polinoame invariante. Vor fi stabilite condiţii necesare şi sufi ciente pentru ca o funcţie olomorfă arbitrară, defi nită pe domenii cu frontieră C2 -netedă, să aibă limită admisibilă într-un punct arbitrar fi xat de frontieră. Vor fi depistate criter iile afi n invariante pentru realizarea fiecărei dintre confi guraţiile geometrice de singularităţi infi nite posibile pentru familia de sisteme pătratice. Vor fi construiţi factorii integranţi Lie pentru sistemul diferenţial cubic în care partea cubică are forma Darboux. Va fi determinată aproximaţia de sus a numărului maximal de mărimi focale algebric independente, ce participă la rezolvarea problemei centrului şi focarului pentru sistemul diferenţial cu neliniarităţi de gradul patru. Vor fi clasifi cate sistemele cubice cu două drepte invariante de multiplicitate maximală. Vor fi construite exemple de reducere a ecuaţiilor pentru fl uxurile Ricci 6-dimensionale la sisteme polinomiale de ecuaţii diferenţiale. Pentru sistemul pătratic de ecuaţii diferenţiale cu infinitul degenerat perturbat cu neliniarităţi cubice vor fi determinate condiţii invariante de existenţă a punctului singular de tip centru în originea de coordonate. Va fi elucidat rolul direcţiilor tangente normale şi tangenţiale în studiul funcţiilor olomorfe de mai multe variabile complexe în vecinătatea frontierei.

2014

Determinarea tuturor claselor de sisteme pătratice ce posedă hiperbole invariante ireductibile. Cercetarea câmpurilor vectoriale generate de unele clase de sisteme cubice cu drepte invariante. Determinarea hotarului de sus al numărului de mărimi focale algebric independente pentru sistemul cubic s(1,2,3). Stabilirea condiţiilor invariante de deosebire a centrului şi a focarului, construirea factorului integrant Lie pentru unele clase de sisteme cubice. Cercetarea proprietăţilor extensiunilor Riemann ale spaţiilor afin conexe şi ale spaţiilor elementelor liniare corespunzătoare ecuaţiilor diferenţiale ordinare de ordinul doi cubice în raport cu prima derivată. Stabilirea unui criteriu cantitativ de normalitate pentru familiile de funcţii olomorfe de mai multe variabile complexe. Determinarea tuturor claselor de sisteme pătratice ce posedă hiperbole invariante ireductibile.